レッスン1 / 1問目

『微分』

このレッスンでは微分について学習していきましょう。

以下の内容について解説していきます。

  1. 接線とは
  2. 微分とは
  3. 傾きを求める方法
  4. 導関数
  5. 極限
  6. 微分の公式

では順番に見ていきましょう。

接線とは

まずは微分を学習するうえでの前提知識として接線について見ていきます。

接線とは曲線と直線が一点だけ触れている状態の線をいいます。以下赤線が接線となります。

円の接線

曲線の接線

交わりもせず、離れもせず一点だけが触れている線が接線です。

微分とは

微分とは接線の傾きを求めることです。

以下のように、曲線の座標により接線の傾きが変わります。

接線の傾き

下記グラフにおける接線の傾きは2です。

接線の傾き

以下の接線は傾いていないため傾きは0となります。

接線の傾き

上記のような傾きを求めることが微分の目的です。では接線の傾きはどのようにすれば求めることができるのか。順を追って説明していきます。

傾きの求め方

ではここから傾きを求める方法について見ていきましょう。

まずは2点を通る直線の傾きについて見ていきます。

一次関数のグラフ

上記の二点を通る直線の傾きは以下の式で求めることができます。

yの増加量 xの増加量

上記グラフのx座標とy座標をこの式に当てはめると

6-2 3-1 = 4 2 = 2

傾き2を求めることができました。ここまでは微分の前提知識となります。



では練習問題として以下の直線の傾きを求めてください。

一次関数のグラフ

答えは12となります。

3-1 6-2 = 2 4 = 1 2

導関数

ここまでは2点の傾きを求めてきましたが、ここからは1点の傾きを求める方法について見て行きましょう。

接線の傾きを求めるには導関数という関数を使います。以下は導関数です。(ここで覚える必要はありません。)

f´(x) = limh0 f(x + h)-f(x) h

この導関数を用いて接線の傾きを求めることを微分と呼ぶのですが、ここではこの導関数から解説していきます。

その前にまず、これまでグラフの縦軸と横軸をxとyで表してきましたが、今後わかりやすいようにyはf(x)とします。yとf(x)は同じ意味となります。f(x)はxを入力値として受け取る関数を表しており、例えば「y = ax + b」のような一次関数におけるyはf(x)と同じ意味となります。今後yをf(x)と呼びますが、同じ意味となります。

グラフ

では一点の座標から傾きを求める方法を見ていきましょう。

以下青丸の傾きを求めていきましょう。

微分の説明用用グラフ

上記グラフの一点の傾きを求めるには増加量をhとして2点を取ります。

微分の説明用用グラフ

すると座標が2点出来上がります。

微分の説明用用グラフ

増加量をhとしてh分増加した座標を(x + h, f(x + h))とします。そしてこの二点の傾きを求めていきます。傾きは「yの増加量 ÷ xの増加量」で求めることができます。

f(x + h)-f(x) (x + h)-x

= f(x + h)-f(x) h

これでxの増加量分のyの増加量を求めることができました。しかしこれだけでは2点の傾きとなってしまいまい、接線の傾きにはなりません。

そのため、次の手順としてグラフ上の2点を1点に収束します。以下のように追加した点を元からあった点に近づけていきます。

微分の極限の説明用グラフ

さらに近づけていき、極限まで近づけることでこの2つの点を1点とみなします。

微分の極限の説明用グラフ

このように点と点を極限まで近づけることで接線の傾きを求めることができます。

ではこれを数式化していきましょう。

ここで数学の極限が登場します。極限を使うと上記の「一点に極限まで近づける」を実現することができます。

以下の数式では増加量hを0に極限まで近づけています。

limh0 f(x + h)-f(x) h

以下赤枠部分が極限を表しています。

極限の数式

極限はそれほど難しいものではありません。「lim(リミット)」の下に「h → 0」のように極限まで近づけたい変数と数値を記述するだけです。

では、これで接線の傾きを求める関数が完成しました。

微分はダッシュ「´」をつけて「f'(x)」で表します。以下が完成形です。

f´(x) = limh0 f(x + h)-f(x) h

上記の関数を導関数と呼びます。そしてこの導関数を計算し、接線の傾きを求めることを微分と呼びます。

この導関数を用いて微分を行っていきます。

微分をしてみよう

では前章で求めた導関数を用いて微分を行います。

以下の三つについて微分を行っていきます。

  1. x
  2. 1

まずは(x)´です(括弧で括り「´」ダッシュをつけると微分を表します)。以下の導関数を用いて微分を行います。

f´(x) = limh0 f(x + h)-f(x) h

上記導関数の入力値にxにxを当てはめていきます。

= limh0 x + h-x h

分子のxが互いに足し引きして0となります。

= limh0 h h
= 1

xを微分し、微分した値は1となりました。このように導関数に当てはめていくことで簡単に微分を行うことができます。


では次は( x²) ´です。

導関数

f´(x) = limh0 f(x + h)-f(x) h

まずは入力値xにx²を代入します。

f(x + h)にx²を代入する場合は(x + h)²となる点に注意しましょう。

= limh0 (x + h)2-x2 h

展開していきます。

= limh0 x2+2xh+h2-x2 h

分子のx²が足し引きされて0になります。

= limh0 2xh+h2 h

分母と分子にhがあるので消しあいます。

= limh0 (2x+h)

最終的に「2x + h」となりました。ここで極限を使います。
極限により、hは0に極限まで近づくためh=0となります。

= 2x

xの微分は2xとなりました。



では最後に(1)´の場合を見ていきましょう。

「f(x) = 1」のような定数関数は以下のように横一直線のグラフになります。

そのため定数関数における傾きは0となるのですが、念のため微分していきましょう。

f´(x) = limh0 f(x + h)-f(x) h

f(x)とf(x + h)を1とします。

= limh0 1-1 h

それぞれ計算していくと、以下のように定数における微分は0となります。

= limh0 0 h = 0

微分の公式

ここまでは微分を理解するために、微分を一から計算してきましたが、実際に微分を行う際は公式を使うと便利です。

微分の公式は以下の通りです。

  • xの微分は1になる
  • x²の微分は2xとなる(x³の微分は3x²、x⁴の微分は4x³となる)
  • 定数の微分は0となる。(定数とは1や2などの変数ではない値のことです)

これらは上記微分で求めた通りです。今後微分を行う際にこの公式を使用しますので覚えておきましょう。

2番目の公式は以下のように指数が変数の前に降りてきて、指数が1減るという法則があります。

微分の公式

ではこれらの公式を用いて微分を行う例を見ていきましょう。

まずは「5x」を微分する例です。

5x
= 5 × 1    # 微分の公式よりx=1となる
= 5

微分の公式よりxは1となるため5xを微分すると5となります。

では次は「3x + 4」を微分してみましょう。

3x + 4
= 3 × 1 + 0    # 微分の公式よりx=1、定数4=0となる
= 3

微分の公式より定数4は0となるため、3x + 4の微分は3となります。

最後に「4x² + 3」を微分します。

4x² + 3
= 4 × 2x + 0    # 微分の公式よりx²=2x、定数3=0となる
= 8x

微分の公式よりx²が2xとなり、4x² + 3の微分は8xとなります。

まとめ

このレッスンでは微分について学習しました。

重要な点を以下にまとめます。

  • 接線とは曲線と一点だけが触れている直線である
  • 微分とは接線の傾きを求めることである
  • 微分の公式

ではレッスンは以上となります。練習問題にチャレンジしましょう。

Lesson1

接線とはなにか

線とは曲線と一点だけが触れている以下のような直線です。

円の接線

Lesson2

微分とは何を求めるものか

接線の傾きです。

Lesson3

2点を通る直線の傾きを求める方法を答えよ

「yの増加量 ÷ xの増加量」です。

Lesson4

微分の公式を用いて以下の値を微分してください。

「2x」

答え:2

微分の公式よりx=1となります。

Lesson5

微分の公式を用いて以下の値を微分してください。

「6x + 15」

答え:6

微分の公式よりx=1、定数15=0となります。

Lesson6

微分の公式を用いて以下の値を微分してください。

「3x²」

答え:6x

微分の公式よりx²=2xとなります。

Lesson7

微分の公式を用いて以下の値を微分してください。

4x³ + 12

12x²

微分の公式よりx³=3x²となります。



判定ボタンを押してレッスンを完了してください。

Last updated:2019/11/19

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